线性代数系列：行列式计算技巧

关键词：行列式，线性代数

内容摘要

副对角线三角矩阵

天灾近卫行列式

范德蒙德行列式（指数增长型行列式）

列向量未知数代替的行列式计算

分块对角矩阵的行列式计算

副对角线三角矩阵

主对角线，或者右上三角，左下三角行列式是主对角线元素的乘积，而副对角线或者左上三角、右下三角行列式的公式如下

代入 ，得：

因此行列式值为：

其中，指数 是排列的逆序数之和。

在计算副对角线行列式时，唯一非零的项对应于排列 ，即列标（或行标）的排列为 。

该排列的逆序数为：

因此，这一项的符号为 。

天灾近卫行列式

这种行列式为对称阵，主对角线上为同一元素，其他位置为同一元素，形如

这种形式先将所有行相加，提取公因子，然后行相减凑出对角阵即可方便计算

（将第2行到第n行都加到第1行）

（从第1行提出公因子 ）

（第 行减去第1行的 倍，）

✅ 最终结果：

例题1

此题可以死算，但是用天灾近卫公式更简单，a=0，b=2，n=4，则

范德蒙德行列式（指数增长型行列式）

这种行列式的初始行/列元素都全是1，每一行/列都是呈现出指数增长的，例如

这个式子转置这个规律仍然成立，因为矩阵转置行列式不变，范德蒙德行列式的行列式结果为

即以指数为1的那一行为准，从右侧开始，挑选一个左侧的做差再全部累乘

例题2

此题可以死算，但是结构和范德蒙德行列式很像，指数上从1次到3次都有，缺少0次，因此需要构造初始全是1的行，将第四行改造为初始行

注意到右边是一个范德蒙德行列式（Vandermonde Determinant），其值为：

计算：

✅ 最终结果：

列向量未知数代替的行列式计算

这类题用将某矩阵的行列式给到，同时给到矩阵的列向量组形式，然后对列做变换，求变换后的行列式。

例题3

设 3 阶矩阵 ，其中 为三维列向量，若 ，则

此题变换后的矩阵，是某列的几倍加上另一列，但是是同时进行的，因此不符合某列的几倍加上另一列行列式不变的性质，因为是同时进行的，所以先求出变换矩阵，再通过|AB|=|A||B|解决

易得

因此

发散一下，此题若为求，则完全符合行列式的初等变换中将一列的几倍加在另一列上，先将a2加在a1上，再将a3加在a2上，因此行列式值不变，这个过程是先后进行的，如果还是假设这个变换是同时进行的，求出变换矩阵为

该变换矩阵的行列式为1，所以

因此同时变换和先后变换，最终的行列式结果并不冲突，优先使用同时变换，因为某些情况下不能先后变换。

分块对角矩阵的行列式计算

对于分块矩阵，行列式有以下公式

例题4

求行列式：

直接套用公式，结果为：

因此，行列式的值为 。